Aquisição de Luminosidade com DSP e FreeRTOS

Este projeto está estruturado em duas etapas complementares, abrangendo tanto o domínio analógico quanto o domínio digital do sistema de medição.

Parte 1: Condicionamento analógico, Projeto e dimensionamento formal do circuito passa-baixa RC, responsável pelo condicionamento do sinal do sensor LDR, limitação espectral e prevenção de aliasing antes da digitalização.

Parte 2: Implementação do software de aquisição em tempo real no TI AM243x, incluindo configuração do ADC, definição da taxa de amostragem, sincronização via FreeRTOS e processamento digital das leituras de luminosidade.

O objetivo desta primeira etapa é desenvolver, modelar e dimensionar formalmente o sistema de aquisição analógica responsável por converter variações de luminosidade em um sinal digital processável pelo microcontrolador TI AM243x.

A aquisição de sinais físicos não consiste apenas em conectar um sensor a um conversor analógico-digital (ADC). Trata-se de um problema clássico de engenharia que envolve:

• Modelagem elétrica do sensor;
• Conversão da grandeza física em tensão;
• Limitação espectral do sinal;
• Compatibilidade com o circuito de amostragem do ADC;
• Garantia de integridade espectral antes da digitalização.

Modelagem elétrica do LDR

O LDR (Light Dependent Resistor) é um componente passivo cuja resistência elétrica é função da intensidade luminosa incidente. De forma simplificada, pode-se expressar seu comportamento como:

R_LDR = k · L^-α

onde L representa a iluminância e α é um coeficiente dependente do material semicondutor. Isso implica que o sensor não gera tensão própria, mas altera sua resistência conforme a luz varia.

Conversão Resistência → Tensão

Para que o sinal possa ser convertido pelo ADC, a variação resistiva deve ser transformada em tensão elétrica. Isso é realizado por meio de um divisor de tensão resistivo alimentado em 3,3 V.

V_ADC = V_CC · \frac{R_fixo}{R_LDR + R_fixo}

Essa equação mostra que a saída é não linear em relação à luminosidade, mas fornece uma tensão contínua proporcional à condição luminosa.

Necessidade de Limitação Espectral

Embora o fenômeno físico da iluminação ambiente seja predominantemente lento, o circuito pode captar componentes indesejados de alta frequência provenientes de:

• Flicker - variação de rede elétrica que acontece normalmente em 50/60 Hz;
• Interferências eletromagnéticas;
• Ruído de chaveamento de fontes;
• Ruído térmico e ruído do próprio ADC.

Caso essas componentes alcancem o ADC sem atenuação adequada, poderão provocar distorções espectrais irreversíveis após a amostragem, fenômeno conhecido como aliasing, por isso é necessário limitar a banda do sinal antes da digitalização, afinal de contas, não adianta nada coletar dados que não representem a realidade física que se deseja medir!

💡 Solução: Filtro Passa-Baixa RC

Para limitar a banda do sinal antes da digitalização, é introduzido um filtro passa-baixa RC de primeira ordem.

No domínio da frequência, sua função de transferência é:

H(jω) = \frac{1}{1 + jωRC}

A magnitude do ganho é dada por:

|H(jω)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (ωRC)^2}}

A frequência de corte é definida quando:

|H(jω_c)| = \frac{1}{\sqrt{2}}

Resultando na expressão clássica:

f_c = \frac{1}{2πRC}

Essa frequência marca o ponto em que o sinal sofre atenuação de −3 dB. Acima dela, o ganho decresce a aproximadamente −20 dB por década, característica típica de filtros de primeira ordem.

O projeto do filtro, portanto, deve considerar simultaneamente:

• Preservação da banda do sinal útil;
• Redução de ruídos de alta frequência;
• Prevenção de aliasing;
• Tempo de resposta do sistema;
• Compatibilidade com o ADC.

Em seguida, o dimensionamento será conduzido de forma formal, partindo da definição da frequência máxima útil, escolha da taxa de amostragem e aplicação direta do critério de Nyquist para determinar a frequência de corte apropriada.

Pinout da LaunchPad AM243x

Antes de realizar qualquer conexão física, é fundamental compreender a disposição dos pinos disponíveis na LaunchPad baseada no TI AM243x.

O sinal condicionado pelo filtro RC será aplicado ao módulo ADC0, especificamente ao canal ADC0_AIN0, exposto em um dos headers da placa.

O ADC (Analog-to-Digital Converter) é o periférico responsável por converter a tensão analógica contínua (0–3,3 V) em um valor digital discreto proporcional, permitindo processamento numérico pelo núcleo Cortex-R5F.

Sensor LDR

O sensor utilizado neste projeto é um LDR (Light Dependent Resistor), componente passivo cuja resistência elétrica varia inversamente com a intensidade luminosa incidente.

Seu comportamento não é linear e depende do material semicondutor utilizado, sendo tipicamente modelado por uma relação potencial entre resistência e iluminância.

Dimensionamento Formal do Filtro Anti-Aliasing

O dimensionamento do filtro analógico não deve ser baseado apenas em tentativa e erro ou valores comerciais disponíveis. Ele deve derivar diretamente da teoria de amostragem e da análise espectral do sinal. Nesta seção, o projeto será conduzido de forma sistemática.

1. Definição formal do sinal útil

O primeiro passo consiste em determinar a maior frequência presente no fenômeno físico que se deseja medir.

A iluminação ambiente varia tipicamente de forma lenta, associada a:

• Movimentação humana;
• Sombras;
• Variação gradual de intensidade luminosa;
• Transições dia/noite.

Mesmo considerando eventos rápidos (por exemplo, passagem de mão sobre o sensor), a variação dificilmente ultrapassa alguns hertz.

Adota-se, portanto:

f_útil = 2 Hz

Essa frequência representa a banda máxima que deve ser preservada integralmente pelo sistema.

2. Escolha da frequência de amostragem

O Teorema da Amostragem de Nyquist-Shannon estabelece que um sinal limitado em banda pode ser perfeitamente reconstruído se:

f_s ≥ 2 · f_máx

Onde fs é a taxa de amostragem e fmáx é a maior frequência do sinal.

Para fútil = 2 Hz, o mínimo teórico seria:

f_s ≥ 4 Hz

Entretanto, operar próximo ao limite teórico não é desejável, pois reduz margem contra ruídos e não oferece boa resolução temporal.

Define-se então:

f_s = 100 Hz

Essa escolha fornece:

• Grande margem contra aliasing;
• Boa resolução temporal (10 ms entre amostras);
• Carga computacional baixa para o AM243x.

3. Frequência de Nyquist

A frequência de Nyquist é definida como:

f_N = f_s / 2

Logo:

f_N = 50 Hz

Qualquer componente espectral acima de 50 Hz será refletida para dentro da banda útil após a amostragem, segundo:

f_alias = |f - k·f_s|

Por exemplo:

• 60 Hz → alias em 40 Hz
• 200 Hz → alias em 0 Hz

Isso demonstra a necessidade de atenuação antes da digitalização.

4. Definição da frequência de corte

Uma regra prática amplamente utilizada é:

f_c ≈ f_s / 10

Para 100 Hz:

f_c ≈ 10 Hz

Entretanto, como a banda útil é até 2 Hz, pode-se reduzir ainda mais para aumentar atenuação de ruídos:

f_c = 3,4 Hz

5. Escolha do resistor

O resistor influencia:

• A frequência de corte;
• A impedância vista pelo ADC;
• A constante de tempo do circuito.

O ADC do AM243x utiliza circuito sample-and-hold, que exige impedância de fonte moderada.

Escolhe-se:

R = 10 kΩ

Valor suficientemente baixo para carregamento adequado do capacitor interno do ADC e suficientemente alto para evitar consumo excessivo.

6. Cálculo do capacitor

O dado mais importante que temos até agora é a frequência de corte, que a base para proteger o sinal contra ruidos indesejaveis, sendo assim, podemos usar este valor junto com o valor do resistor escolhido para definir o valor do capacitor. A relação fundamental é:

f_c = 1 / (2πRC)

Rearranjando:

C = 1 / (2πR f_c)

Substituindo:

C = 1 / (2π · 10 000 · 3,4)

C ≈ 4,68 µF

Escolhe-se o valor comercial:

C = 4,7 µF

7. Verificação da atenuação em 60 Hz

A magnitude do ganho é:

|H(jω)| = 1 / √(1 + (ωRC)²)

Para 60 Hz:

ω = 2π·60 ≈ 377 rad/s

Como:

RC ≈ 0,047 s

ωRC ≈ 17,7

|H| ≈ 1 / √(1 + 313) ≈ 1 / 17,7

Atenuação aproximada:

≈ −25 dB

Ou seja, ruído de 60 Hz é reduzido para cerca de 5,6% da amplitude original.

8. Análise da latência (resposta temporal do filtro)

Todo filtro analógico não atua apenas no domínio da frequência; ele também apresenta um comportamento dinâmico no tempo. Para entender esse comportamento, utiliza-se um teste clássico chamado resposta ao degrau.

O que é um degrau de tensão?

Um degrau é uma variação instantânea da tensão de entrada de um valor inicial para um valor final constante.

Matematicamente, é representado como:

V_in(t) =

0,     para t < 0
V_final,     para t ≥ 0

Em termos físicos, isso significa que a tensão muda abruptamente, como se alguém ligasse uma fonte instantaneamente.

No contexto deste projeto, um degrau pode representar, por exemplo:

• Acender uma lanterna diretamente sobre o sensor;
• Descobrir o sensor que estava coberto;
• Uma transição súbita de sombra para luz intensa.

Ou seja, uma mudança brusca na iluminação.

Por que usamos o degrau para análise?

Porque ele permite avaliar a velocidade de resposta do sistema. Se o filtro responde lentamente a um degrau, isso significa que ele suaviza variações rápidas.

No caso do filtro RC de primeira ordem, o comportamento temporal é governado pela chamada constante de tempo, definida por:

τ = R · C

Substituindo os valores adotados no projeto:

τ = 10 000 · 4,7 µF ≈ 0,047 s ≈ 47 ms

Essa constante representa o tempo característico necessário para que o capacitor carregue ou descarregue após uma variação brusca.

Equação da resposta ao degrau

A resposta do filtro a um degrau de tensão é descrita por:

V(t) = V_final · (1 − e^−t/τ)

Essa equação mostra que a saída não atinge instantaneamente o valor final; ela se aproxima de forma exponencial.

• Após 1τ (≈ 47 ms) → atinge ~63% do valor final;
• Após 3τ (≈ 141 ms) → atinge ~95% do valor final;
• Após 5τ (≈ 235 ms) → ultrapassa 99% do valor final.

Portanto, pode-se considerar que o sistema leva aproximadamente 235 ms para estabilizar completamente após uma mudança abrupta.

Esse atraso é chamado de latência do filtro. Ele surge porque o capacitor não pode variar sua tensão instantaneamente — isso exigiria corrente infinita, o que é fisicamente impossível.

Existe, portanto, um compromisso fundamental:

• Maior R·C → mais filtragem (menos ruído), porém resposta mais lenta;
• Menor R·C → resposta mais rápida, porém menos atenuação de ruído.

Para medições de luminosidade ambiente, cujas variações naturais ocorrem na ordem de segundos, essa latência de algumas centenas de milissegundos é perfeitamente aceitável e não compromete o desempenho do sistema.

Conclusão da parte 1

O filtro foi dimensionado com base em:

• Teorema de Nyquist;
• Análise de aliasing;
• Compatibilidade com o ADC;
• Critério de atenuação espectral;
• Análise temporal do sistema.

Dessa forma, garante-se que o sinal entregue ao ADC esteja adequadamente limitado em banda, preservando o conteúdo útil e minimizando distorções espectrais antes da digitalização.

Conclui-se, portanto, que o estágio analógico foi devidamente dimensionado, garantindo limitação espectral adequada, atenuação de ruídos indesejados e tempo de resposta compatível com o fenômeno físico observado.

Na segunda parte deste projeto, será implementado o software em tempo real responsável pela aquisição periódica das leituras de luminosidade através do ADC do TI AM243x. Essa etapa envolverá a configuração do periférico de conversão, definição da taxa de amostragem, sincronização temporal via FreeRTOS e posterior processamento digital dos dados obtidos.

Dessa forma, o sistema evolui do domínio analógico — onde garantimos integridade física e espectral do sinal — para o domínio digital, onde técnicas de filtragem e análise em tempo real poderão ser aplicadas com base em dados corretamente condicionados.